函数的微分

一、定义

对于正方形来说，增量

当 足够小，可以近似

对于 而言，当 时， 是其主要部分，将其记作

其中 是一个不变量（即原正方形的 2 倍）

而 在 是一个极小量，记为

现在，扩展到

我们约定主部系数值 ，极小增量 ，假设

由于 是 的高阶无穷小，

若在 下

由于 ，故上面步骤为等价变换

我们可以得出，在一元函数下，可微是可导的充要条件

写作 => 其实就是

二、几何视角

当 足够小可以近似

即利用切线替代极小段弧线计算

三、微分和运算法则

(1) 微分　由上式

用 严格化，有

故求导后乘上 得到微分

(2) 加减乘除运算法则

(3) 复合函数

假设 ，

=>

=> 　　　

=> 　　　

=>

故无论使用 func 还是数作为自变量，其次相完全一致。

也就是说，可以灵活的决定这个洋葱要剥几层。

举个例子

=>　

再举个例子

由 ，得

对其进行反导，得 （C 为常数）

所以

四、近似计算和误差

其实可以参照示意图

举个例子　 近似值

由于 已知，上值可分解为

然后根据需求代入 和 近似值计算即可

以下是常见的近似，当 时，

下面说说误差

约定 为精确值， 为近似值，则绝对误差定义为

相对误差定义为

所以绝对误差是个值，相对误差是个百分比。

由于我们无法得到真实 ，但我们可以知道

称为绝对误差限， 为相对误差限

举个例子　圆钢 ， ，求 和

面积公式