大一学习高等数学，遇到了一些问题，在这里特提出一些见解，以及做出一些说明。

各位读者可以认为这个系列是一个学习笔记，可以当成快速排雷的手册。

关于莱布尼茨记号

简述

首先需要确定的是，在初等微积分的语境下，是一个整体记号，表示对的导数，其中的与不能随意拆开解释。

但这个”整体”是有范围限定的，需要区分三种记号：

到了微分形式（differential forms）的语境里，与各自都是有意义的对象，可以被独立解释。所以”不可分割”只在基础微积分中成立，并不是记号的固有属性。

第一次见到的人把它当作一个微分之比也不奇怪，因为在特定情况下，这样的计算模式确实是正确的，这也是最初把记号设计成这种形式的目的。但要注意，那种”正确”是由定理保证的，不是记号的必然结果。

其实个人认为，你可以尝试把它看成作用在函数上的映射（算子）。记

若，则

这里的被称为算子。严格地说，现代数学中的”算子”常指某一类特定的映射，尤其指线性算子；就本文的用途而言，可以这样理解：

是把可微函数映到其导函数的线性算子。

这里摘录一部分来自同济版本高等数学的文字。

映射又称算子. 根据集合X,Y的不同情形，在不同数学分支中，映射又有不同的惯用名称. 例如，从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集合X到他自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.

引用这段话的目的是说明算子与映射的关系。需要注意的是，”映射又称算子”是教材里比较宽松的说法；在更专门的语境中，算子通常指带有额外结构（例如线性、连续性）的映射。至于算子理论本身，这里不加赘述。

上文说过，莱布尼茨记号的本质是一个算子。这里需要说明一点：算子的输入是可微函数（或函数表达式），输出是导函数。说”算子的自变量”并不恰当——算子没有”自变量”这种说法，它的作用对象是函数。

记，若，则。这个式子说明的是：吃掉一个可微函数，吐出一个导函数。

关于笔者自己的思考

实际上，本身是完全标准的记号，没必要回避。真正需要提醒的是：不能无条件地把它当作普通分数去约分。

链式法则、反函数求导、参数方程求导里出现的那些”形式上的约分”，都是由相应定理保证的结果，而不是因为记号长得像分数就可以约。高阶导数尤其不能这样处理。

因此，在需要突出”作用对象是谁”的地方，本文约定采用这种写法：

这种写法有以下几个好处：

说实话，笔者感觉最初的写法除了简单没有优势，这个方法顶多是多写了两个括号，但是清晰了许多，所以但凡遇到类似，本文和本系列以此处理。

一阶导数，二阶导数。

但对于二阶导数，需要先说清这个记号的含义。记

则二阶求导算子是相邻两次求导的复合：

因此

这里的”平方”表示算子复合，不是普通乘法。同理，也不能拆成去约分——分母里的不是普通的幂。

计算顺序也是明确的，直接写清括号即可：先算内层，再对外层求导，

也就是说，先定义，再把它作用于；不必依赖”导数符号向右结合、计算顺序从左向右”这类口诀。

于是下面的等式在”相邻算子表示复合”的意义下成立：

然而这不是说它可以像分数一样约分。大部分人会把二阶导数当作分数处理，这个操作只在被定理保证的情况下才成立。

一般地，阶求导算子是次复合：

次

于是

其中表示算子复合，不是普通乘法；同样，也不能拆成普通分数。

待续…